Задачи на сближение и удаление

Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач:  S = υ·t,   υ = S : t,   t = S : υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.

Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.

Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления – это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.

Движение на сближение можно разделить на два вида: встречное движение и движение вдогонкуДвижение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием.

Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.

Рассмотрим таблицу.

движение

Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются. При движении в одну сторонувычитаются.

Примеры решения задач.

Задача №1.  Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 80 км/ч
Найти υсб
Решение.
υсб = υ1 + υ2 – скорость сближения (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υсб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ:  скорость сближения 140 км/ч.

Задача №2. Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 80 км/ч
Найти υуд
Решение.
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υуд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ: скорость удаления 140 км/ч.

Задача №3. Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υав = 60 км/ч
υмот = 80 км/ч
Найти υсб
Решение.
υсб =  υ1 – υ2 – скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении)
υсб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ: скорость сближения 20 км/ч.

То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения.

Рассмотрим другие задачи.

Задача № 4. Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ1 = 5 км/ч
υ2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях)
υуд = 5 + 4 = 9 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υуд·t
S =  9·3 = 27 (км)
Ответ: через 3 ч расстояние будет 27 км.

Задача № 5. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ1 = 10 км/ч
υ2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υсб = υ1 + υ2 – скорость сближения (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υсб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S : υсб
t = 36 : 18 = 2 (ч)
Ответ:  встретятся через 2 ч.

Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение.
1 способ
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях)
υуд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υуд·t    ⇒   t = S : υуд
t =  260 : 130 = 2 (ч)
Ответ: через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:

задача 1

Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S1 + S2;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит, 
S11· t  расстояние которое проехал 1 поезд
S22· t — расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S = S1 + S
= υ1· t  + υ2· t  =  t · (υ+ υ2) = t · υуд  
t = S : (υ+ υ2)  — время за которое оба поезда проедут 260 км
t =  260 : (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ:  расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч . 

1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача.  Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?