Масштаб

Масштаб – це відношення, яке показує, у скільки разів зменшено зображення на карті (плані, кресленні, глобусі) проти його реальних розмірів на Землі. Тобто масштаб показує скільки сантиметрів на місцевості міститься в 1 см на карті.

Масштаб 1:100 000 показує, що кожному сантиметру на карті відповідає 100 000см (або 1 км) на місцевості (1 км = 100 000 см).
Чим у меншу кількість разів місцевість зменшена під час зображення її на папері, тим більшим є масштаб зображення, і навпаки.

Наприклад, масштаб 1: 10 000 буде більшим, ніж масштаб 1: 350 000, тому що в першому випадку в 1 см – 100 м, а в другому – в 1 см – 3,5 км. Очевидно, що на великому масштабі місцевість буде зображена більш детально.

За масштабом карти класифікують на:

1. оглядові – масштаб більший за 1 : 1 000 000;
2. оглядово-топографічні – від 1 : 1 000 000 до 1 : 500 000;
3. дрібномасштабні – від 1 : 200 000 до 1 : 100 000;
4. середньомасштабні – від 1 : 50 000 до 1 : 25 000;
5. крупномасштабні – від 1 : 10 000 до 1 : 5000, загальногеографічні карти такого масштабу називають топографічними;
6. топографічні плани – від 1 : 2000 до 1 : 500.

За формою масштаби класифікують:

Запам’ятай!  1 км = 100 000 м;    1м = 100 см


Коротко!

ЧИСЛОВИЙ запис  1:30 000 показує, що розміри предмета на карті ЗМЕНШЕНО порівняно з реальними у 30 000 разів.

ЧИСЛОВИЙ запис  30 000:1 показує, що розміри предмета на карті ЗБІЛЬШЕНО порівняно з реальними у 30 000 разів.


Розв’язання задач

Задача 1

Масштаб карти 1:30 000, а відстань на карті між містами 45 см. Знайдіть реальну відстань між містами на місцевості.

Розв’язання.
Зрозуміло, що відстань на місцевості буде більшою за відстань на карті в 30 000 разів. Тоді 45 см × 30 000 = 1 350 000 см = 13, 5 км

Тобто ми збільшуємо відстань в 30 000 разів

Відповідь: реальна відстань між містами на місцевості 13,5 км.

Задача 2

Відстань між двома містами біля 360 км. Якою буде відстань між містами на карті, якщо масштаб цієї карти 1:300 000?

Розв’язання.
Зрозуміло, що відстань на карті буде менша за відстань на реальній місцевості в
3 000 000 разів.
360 км = 36 000 000 см.
Тоді 36 000 000 см : 3000 000 = 12 см.
Тобто ми зменшуємо реальну відстань в 3 000 000 разів

Відповідь: відстань між містами на карті 12 см.

Задача 3

Відстань між двома містами 750 км. Знайдіть масштаб карти, якщо на ній відстань між цими містами 15 см.

Розв’язання.

750 км = 75 000 000 см
Оскільки масштаб показує у скільки разів зменшено зображення на карті в порівнянні з його реальними розмірами на місцевості, тоді

75 000 000 см : 15 см = 5 000 000.

Відповідь: масштаб карти 1:5 000 000.

Задачи на сближение и удаление

Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач:  S = υ·t,   υ = S : t,   t = S : υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.

Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.

Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления – это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.

Движение на сближение можно разделить на два вида: встречное движение и движение вдогонкуДвижение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием.

Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.

Рассмотрим таблицу.

движение

Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются. При движении в одну сторону – вычитаются.

Примеры решения задач.

Задача №1.  Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 80 км/ч
Найти υсб
Решение.
υсб = υ1 + υ2 – скорость сближения (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υсб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ:  скорость сближения 140 км/ч.

Задача №2. Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 80 км/ч
Найти υуд
Решение.
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υуд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ: скорость удаления 140 км/ч.

Задача №3. Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υав = 60 км/ч
υмот = 80 км/ч
Найти υсб
Решение.
υсб =  υ1 – υ2 – скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении)
υсб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ: скорость сближения 20 км/ч.

То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения.

Рассмотрим другие задачи.

Задача № 4. Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ1 = 5 км/ч
υ2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях)
υуд = 5 + 4 = 9 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υуд·t
S =  9·3 = 27 (км)
Ответ: через 3 ч расстояние будет 27 км.

Задача № 5. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ1 = 10 км/ч
υ2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υсб = υ1 + υ2 – скорость сближения (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υсб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S : υсб
t = 36 : 18 = 2 (ч)
Ответ:  встретятся через 2 ч.

Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение.
1 способ
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях)
υуд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υуд·t    ⇒   t = S : υуд
t =  260 : 130 = 2 (ч)
Ответ: через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:

задача 1

Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S1 + S2;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит, 
S11· t  расстояние которое проехал 1 поезд
S22· t – расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S = S1 + S
= υ1· t  + υ2· t  =  t · (υ+ υ2) = t · υуд  
t = S : (υ+ υ2)  – время за которое оба поезда проедут 260 км
t =  260 : (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ:  расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч . 

А теперь попробуйте решить задачи саомстоятельно.

1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 1 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)

Распределительное свойство умножения

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b + c) = ab + ac

или так:

(b + c) a = ab + ac

В ответе буквы записываются в алфавитном порядке.

Распределительное свойство умножения выполняется для трёх и более слагаемых.
Например, a(b + c + d +f) = ab + ac + ad + af

  Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы число умножить на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b – c) = ab – ac

или так:

(b – c) a = ab – ac

Примеры:
4 (a + 2) = 4a + 4·2 = 4a +8
-6a(3b – 5c – d) = -18 ab + 30 ac + 6 ad
(3x + 4y +5z)2 = 2·3x + 2·4y + 2·5z = 6x + 8y +10z
3b (4b + c) = 3b·4b + 3b·c = 12b2 + 3b·c

 Задания

Раскрыть скобки
3 (a + 5)
8 (5 – x)
15 (c + d)
-20 (f – g)
(a + b) 4
-14a(a + b)
(x – y) 18
2a (3 + 2b)
20 (4a – 5)
(3c + 5d)·(-14)
(2x + 3y) 8x
(3m + 4n – 7p) ·(-6)
-5a (b + 3c – 6d + 2f)
(2a – 5b + 3 c) 12

Упростите выражение

12 a + 13 a
39 b – b
d + 27 d
36 d – 19 d + 23 d
46 a + 54 a – a – 2 a
23 m – 14 m +48
56 b + 14 b – 70 b
37 x – 17 x + 34 x – 54 x + 100
12 a + 6 b
24 x – 8 y
18 a + a +12 a
18 a + 6 b +12 c
14 c + 7 c + 9
69 p – 13 p + 37
14 a – 8 a + 45 a + a
15 a + 5 b + 20 c – 10 d

Решите уравнения

15x + 26 x – 14 = 68
48 x – 19 x = 145
(((12x + 3x) – 5x) – 2x) + 10 x = 54

Ответы

Розподільна властивість множення від storybook