Прості рівняння

Рівняння – це рівність, яка містить невідоме число (букву), значення якого треба знайти, щоб рівність була правильною.

Корінь рівняння – це число, яке при підстановці його замість букви перетворює рівняння на правильну числову рівність. Розв’язати рівняння – це означає знайти всі його корені або переконатися, що їх взагалі немає.

Додавання

Операции сложения

Як знайти невідомий доданок? Треба від суми відняти відомий доданок.

x + 3 = 5

x = 5 – 3

x = 2

4 + x = 6

x = 6 – 4

x = 2

Віднімання

Операции вічитания

Як знайти невідоме зменьшувальне? Треба до різниці додати від’ємник.

y – 15 = 10

y = 10 + 15

y = 25

 Як знайти невідомий відємник? Треба від зменьшувального відняти різницю.

10 – b = 6

b = 10 – 6

b = 4

Множення

Операции умножения

Як знайти невідомий множник? Треба добуток поділити на відомий множник.

c × 3 = 15

с = 15 : 3

с = 5

4 × с = 16

с = 16 : 4

с = 4

Ділення

Операции деления

Як знайти невідоме ділене? Треба дільник помножити на частку.

x : 3 = 4

x = 3 × 4

x = 12

Як знайти невідомий дільник? Треба ділене поділити на частку.

36 : d = 4

d = 36 : 4

d = 9

 

Задачи на сближение и удаление

Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач:  S = υ·t,   υ = S : t,   t = S : υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.

Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.

Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления – это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.

Движение на сближение можно разделить на два вида: встречное движение и движение вдогонкуДвижение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием.

Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.

Рассмотрим таблицу.

движение

Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются. При движении в одну сторону – вычитаются.

Примеры решения задач.

Задача №1.  Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 80 км/ч
Найти υсб
Решение.
υсб = υ1 + υ2 – скорость сближения (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υсб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ:  скорость сближения 140 км/ч.

Задача №2. Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 80 км/ч
Найти υуд
Решение.
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υуд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ: скорость удаления 140 км/ч.

Задача №3. Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υав = 60 км/ч
υмот = 80 км/ч
Найти υсб
Решение.
υсб =  υ1 – υ2 – скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении)
υсб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ: скорость сближения 20 км/ч.

То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения.

Рассмотрим другие задачи.

Задача № 4. Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ1 = 5 км/ч
υ2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях)
υуд = 5 + 4 = 9 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υуд·t
S =  9·3 = 27 (км)
Ответ: через 3 ч расстояние будет 27 км.

Задача № 5. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ1 = 10 км/ч
υ2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υсб = υ1 + υ2 – скорость сближения (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υсб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S : υсб
t = 36 : 18 = 2 (ч)
Ответ:  встретятся через 2 ч.

Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение.
1 способ
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях)
υуд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υуд·t    ⇒   t = S : υуд
t =  260 : 130 = 2 (ч)
Ответ: через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:

задача 1

Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S1 + S2;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит, 
S11· t  расстояние которое проехал 1 поезд
S22· t — расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S = S1 + S
= υ1· t  + υ2· t  =  t · (υ+ υ2) = t · υуд  
t = S : (υ+ υ2)  — время за которое оба поезда проедут 260 км
t =  260 : (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ:  расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч . 

А теперь попробуйте решить задачи саомстоятельно.

1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 1 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)

Вектори. Координати векторів

У робочих зошитах виконаємо вправи за підручником: Геометрія 9 клас, (А.П.Єршова та ін.) № 468, 471, 472, 475. Спробуйте розв’язати ці вправи самостійно, а потім звіритися із «дошкою».

ДЗ: №№462, 466, 467, 473, 479

Початкові відомості про вектори

Вам вже знайомі деякі фізичні величини (сила, переміщення, швидкість та ін), які характеризуються не тільки числовим значенням, але й напрямом.

Наприклад, автомобіль рухається зі швидкістю 80 км/год. Але це неповна інформація про рух тіла, іноді дуже важливо КУДИ саме рухається автомобіль, тобто вказати напрям його руху. Або інший приклад. На автомобіль діє сила 150 Н. Як буде рухатися автомобіль? На це питання неможна дати відповідь, доки не буде вказано напрям дії сили. Якщо сила діє горизонтально, автомобіль теж буде рухатися горизонтально. У зв’язку з цим зрозуміло, що деякі фізичні величини зручно зображати напрямленими відрізками.


Напрямлений відрізок називається вектором.


Напрямок вектора визначається зазначенням його початку та кінця. На креслені напрям вектора відмічають стрілкою.

Для позначення векторів користуються малими латинськими літерами a, b, .. – Також можна позначати вектор зазначенням його початку та кінця   ,

де А – початок вектора, В – кінець вектора

Довжина (модуль) вектора  – це довжина відрізка АВ, який зображує вектор.


Довжину вектора позначають так: 


Основні означення

Нульовий вектор – це вектор кінець якого співпадає з його початком.

На рисунках такий вектор зображається точкою і позначають Ō. Модуль нульового вектора дорівнює нулю, а його напрям не визначений.

Колінеарні вектори – це вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору.

Рівні вектори – це  вектори, які суміщаються паралельним переносом.


Основні властивості та ознаки рівних векторів:
1. Рівні вектори співнаправлені та мають рівні довжини;
2. Якщо вектори співнапрямлені та мають рівні довжини, то вони рівні;
3. Від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному, але тільки один.


Колінеарні вектори – це вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору.

Координати вектора

Спочатку повторимо теоретичний матеріал.


Завдання: в зошитах з теорії зробити конспект з теми, проілюструвати задачами №№448, 452, 458, 460, 455 (за підручником Геометрія 9 клас, (А.П.Єршова та ін))


Розв’язання задач

 

ДЗ: №№ 454, 461, 463.

 

Вектори. Координати векторів

На останньому уроці ми розпочали вивчення теми «Вектори. Координати векторів.»

Продовжуємо розв’язувати задачі з цієї теми.

У робочих зошитах виконаємо вправи за підручником: Геометрія 9 клас, (А.П.Єршова та ін.) № 468, 471, 472, 475. Спробуйте розв’язати ці вправи самостійно, а потім звіритися із «дошкою».

ДЗ: №№462, 466, 467, 473, 479

Признаки делимости на натуральные числа

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра — чётное число.
Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными. Ноль — чётное число.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9.  Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5.

Признак делимости на 7. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 11.  На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Признак делимости на 13. Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 17. Делимость числа на 17 зависит от соотношения между цифрами числа без его последней цифры и этой последней цифрой. Натуральное число делится на 17, если разность — это число без его последней цифры минус его последняя цифра, умноженная на 5, — делится на 17.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10.  Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Загадка Ейнштейна

Загадка Ейнштейна — відома логічна задача, яка за легендою створена Альбертом Ейнштейном в роки його дитинства. Також існує думка, що вона використовувалася Ейнштейном для перевірки кандидатів в асистенти на здатність до логічного мислення. Іноді автором головоломки називають Льюїса Керролла. Тим не менше, немає ніяких доказів того, що завдання придумав Ейнштейн або Керролл. Більш того, в наведеній нижче умові задачі згадуються марки сигарет, наприклад Kool (англ.), які не існували за життя Керролла і за часів дитинства Ейнштейна. Але загадка цікава для тих, хто любить розв’язувати різні логічні задачки. Нижче наведено перший відомий варіант головоломки, яку було опубліковано в журналі Life 17 грудня 1962 року.

На вулиці стоять п’ять будинків.
1. Англієць живе в червоному будинку.
2. У іспанця є собака.
3. У зеленому будинку п’ють каву.
4. Українець п’є чай.
5. Зелений будинок стоїть одразу праворуч від білого дому.
6. Той, хто курить Old Gold, розводить равликів.
7. У жовтому будинку курять Kool.
8. У центральному будинку п’ють молоко.
9. Норвежець живе в першому будинку.
10. Сусід того, хто курить Chesterfield, тримає лисицю.
11. У будинку по сусідству з тим, в якому тримають коня, курять Kool.
12. Той, хто курить Lucky Strike, п’є апельсиновий сік.
13. Японець курить Parliament.
14. Норвежець живе поруч з синім будинком.
Хто п’є воду? Хто тримає зебру?

З метою уточнення слід додати, що кожен з п’яти будинків має свій колір, а їх жителі — різних національностей, володіють різними тваринами, п’ють різні напої і курять різні марки американських сигарет. Ще одне зауваження: в твердженні 6 «праворуч» означає справа щодо вас.

Якщо задача вам сподобалась, тоді запропоную ще одну із книги «Удивительный мир чисел. Математические головоломки и задачи для любознательных»  Кордемский Б.А., Ахадов А.А.

На одній з вулиць дачного селища всього п’ять будинків. Вони пофарбовані в різні кольори, і в них живуть родини поета, письменника, критика, журналіста і редактора. У будинку кожної сім’ї живе улюблена пташка. Глава сім’ї отримує на сніданок улюблений їм напій, після чого відправляється в місто, користуючись улюбленим способом пересування. Відомо що:

1. Поет користується велосипедом.
2. Редактор живе в червоному будинку.
3. Критик живе в крайньому будинку зліва, поруч розташований блакитний будинок.
4. Той, хто їздить на мотоциклі, живе в середньому будинку.
5. Той, хто живе в зеленому будинку, розташованому поруч з білим, праворуч від нього, завжди відправляється в місто пішки.
6. У будинку, де живе снігур, на сніданок завжди буває молоко.
7. Той хто на сніданок отримує какао, живе в будинку, сусідньому з тим будинком, де живе синиця.
8. У жовтому будинку на сніданок подають чай.
9. Який мешкав у сусідньому з любителем канарок вранці п’є чай.
10. Письменник п’є тільки каву.
11. Той, хто їздить на своєму автомобілі, любить пити томатний сік.
12. У будинку журналіста живе папужка.
Питання: У кого живе сорока?

Распределительное свойство умножения

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b + c) = ab + ac

или так:

(b + c) a = ab + ac

В ответе буквы записываются в алфавитном порядке.

Распределительное свойство умножения выполняется для трёх и более слагаемых.
Например, a(b + c + d +f) = ab + ac + ad + af

  Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы число умножить на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b — c) = ab — ac

или так:

(b — c) a = ab — ac

Примеры:
4 (a + 2) = 4a + 4·2 = 4a +8
-6a(3b — 5c — d) = -18 ab + 30 ac + 6 ad
(3x + 4y +5z)2 = 2·3x + 2·4y + 2·5z = 6x + 8y +10z
3b (4b + c) = 3b·4b + 3b·c = 12b2 + 3b·c

 Задания

Раскрыть скобки
3 (a + 5)
8 (5 — x)
15 (c + d)
-20 (f — g)
(a + b) 4
-14a(a + b)
(x — y) 18
2a (3 + 2b)
20 (4a — 5)
(3c + 5d)·(-14)
(2x + 3y) 8x
(3m + 4n — 7p) ·(-6)
-5a (b + 3c — 6d + 2f)
(2a — 5b + 3 c) 12

Упростите выражение

12 a + 13 a
39 b — b
d + 27 d
36 d — 19 d + 23 d
46 a + 54 a — a — 2 a
23 m — 14 m +48
56 b + 14 b — 70 b
37 x — 17 x + 34 x — 54 x + 100
12 a + 6 b
24 x — 8 y
18 a + a +12 a
18 a + 6 b +12 c
14 c + 7 c + 9
69 p — 13 p + 37
14 a — 8 a + 45 a + a
15 a + 5 b + 20 c — 10 d

Решите уравнения

15x + 26 x — 14 = 68
48 x — 19 x = 145
(((12x + 3x) — 5x) — 2x) + 10 x = 54

Ответы

Розподільна властивість множення від storybook

 

Противоположные числа. Модуль числа

Противоположные числа – это числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Выражение –а обозначает, что это число противоположное числу а.

Например, 7  и – 7;
                       41  и – 41  и т.д.

Число 0 противоположно самому себе!

То есть, для того, чтобы показать противоположность чисел в математике используют знак « – ».

Приписав знак « – » перед положительным числом 5, мы получим отрицательное число – 5.

Приписав знак « – » перед отрицательным числом – 5, мы получим противоположное ему положительное число 5, то есть – (–5) = 5.

– (–а) = а

На координатной прямой точки, у которых противоположные координаты, расположены на одинаковом расстоянии от начала отсчёта.

модуль

AO = OC
BO = OD

Модуль числа

Модуль числа – это расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчёта до точки, которая изображает это число на координатной прямой.

модуль2

Точки А(– 4) и В (4) отдалены от начала отсчёта на 4 единичных отрезков, а числа – 4 и 4 имеют одинаковые модули, равные 4.

Модуль числа а обозначают | а |

Так как модуль – это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным, то модуль числа не может быть отрицательным числом!!!

Модулем положительного числа и нуля является тоже самое число, а модулем отрицательного числа – противоположное ему число:
| а | = а, если а  ≥ 0  (если а – неотрицательное число)
| а | = – а, если а  <  0  (если а – отрицательное число)

Выводы

Свойства модуля числа:

  1. Модуль числа не может быть отрицательным. Модуль числа всегда или положительное число или равен 0.

| 4| = 4

| 0 | = 0

|– 4| = 4

  1. Противоположные числа имеют равные модули.

| – а | = | а | = а

Пример, | – 12 | = | 12 | = 12

Решение уравнений (примеры)
1.  – x = 7
вместо – x   и   7  напишем противоположные им числа, используя знак «–»
–(– x) = – 7
воспользуемся правилом, что – (–а) = а получим
x = – 7
2. – x = – 10
–(– x) = –(– 10)
x = 10
3. x = –(– 32)
x = 32
4. | x | = 4
x = 4 или x = – 4
Ответ: 4; – 4
5. | x | = 0
x = 0
Ответ: 0
6. | y | = – 8
модуль не может быть отрицательным числом, а значит данное уравнение не имеет решения
Ответ: нет корней
7. | – x | = 12
вспомним второе свойство модуля, что | – а | = | а | = а, тогда
| x | = 12
x = 12 или x = – 12
Ответ: 12; – 12
8. | y | – 2 = 12
подобные уравнения решаются как простые уравнения, только с учётом модуля
| y | = 12 + 2
| y | = 14
y = 14 или y = – 14
Ответ: 14; – 14
9.  10 – 2| x | = 4
2| x | = 10 – 4
2| x | = 6
| x | = 6 : 2
| x | = 3
x = 3 или x = – 3
Ответ: 3; – 3
То есть при решении уравнений, содержащих модуль мы получим три вида ответа:
два корня (если под знаком модуля положительное число), один корень (если под знаком модуля 0)
нет корней (если под знаком модуля отрицательное число).
Решение простейших неравенств, содержащих модуль

В 5 классе мы решали примеры с простейшими неравенствами. Линейные неравенства бывают строгие и нестрогие.
Строгие неравенства – это неравенства со знаками больше (>) или меньше (<).
x > a; x < a;
Нестрогие неравенства – это неравенства со знаками больше либо равно (≥) или меньше либо равно (≤).
x ≥ a; x ≤ a.

Примеры

1. Найдите все натуральные значения x, при которых является правильным неравенство x < 9

Решение.
Данное неравенство будет правильным при таких значениях x: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
Ответ: х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} – натуральные решения данного неравенства.

Примечание:
Число 0 не является решением этого неравества, так как 0 не является натуральным числом;
Число 9 не является решением этого неравества, так как данное неравенство строгое, то есть х строго меньше 9 и не может быть равным 9.

2. Какое наименьшее натуральное значение а удовлетворяет неравенство а > 12?

Решение.
Поскольку неравенство строгое, то число 13 является наименьшим натуральным значением а, которое удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 13

3. Какое наименьшее натуральное значение а удовлетворяет неравенство а ≥ 12?

Решение.
Поскольку неравенство нестрогое, то число 12 является наименьшим натуральным значением а, которое удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 12.

4. Найдите все натуральные значения x, при которых является правильным неравенство 2 < x < 9

Решение.
Неравенство двойное (читают как «х больше от 2, но меньше от 9»), строгое, поэтому 3; 4; 5; 6; 7; 8 – натуральные решения данного двойного неравенства.
Ответ: х = {3; 4; 5; 6; 7; 8}

5. Найдите все натуральные значения x, при которых является правильным неравенство 2 < x ≤ 9.

Решение.
3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 – натуральные решения данного двойного неравенства.
Ответ: х = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

6. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству| x | < 5.

Решение.
| x | < 5 (читаем как «расстояние от начала отсчёта до точки изображающей х меньше 5»).
Неравенство | x | < 5 эквивалентно (может быть также записано) –5 < x < 5. Неравенство двойное, строгое, поэтому данное неравенство будет правильным при таких значениях x: –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4.
Ответ: х = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}

7. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству| x | ≤ 5.

Решение.
Неравенство | x | ≤  5 эквивалентно –5 ≤  x ≤  5. Неравенство двойное, нестрогое, поэтому числа –5 и 5 войдут в множество чисел, при которых данное неравенство будет правильным. Таким образом, данное неравенство будет правильным при таких значениях x: –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Ответ: х = {–5; –4; –3; –2; –1;  0;  1;  2;  3;  4;  5}

8. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству | x | > 2 и обозначте их на координатной прямой.

Решение.
Неравенство | x | > 2 эквивалентно x < – 2 или x > 2. Обозначим на координатной прямой точки, координаты которых удовлетворяют данному неравенству

неравенства

Поскольку неравенство строгое, то числа – 2 и 2 не входят в множество целых чисел, при которых данное неравенство будет правильным. А на координатной прямой эти точки обозначаем в виде незакрашенной точки.

Ответ: х = {…–5; –4; –3;  3;  4;  5…}

9. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству | x | ≥ 2 и обозначте их на координатной прямой.

Решение.
Неравенство | x | ≥ 2 эквивалентно x ≤ – 2 или x ≥ 2. Обозначим на координатной прямой точки, координаты которых удовлетворяют данному неравенству

неравенства2

Поскольку неравенство нестрогое, то числа – 2 и 2 входят в множество целых чисел, при которых данное неравенство будет правильным. А на координатной прямой эти точки обозначаем в виде закрашенной точки.

Ответ: х = {…–5; –4; –3; –2;  2;  3;  4;  5…}

10. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству 1 < | x | ≤ 3 и обозначте их на координатной прямой.

Решение.
Рассмотрим сначала левую часть неравенства. Она означает, что расстояние от начала отсчёта до точек меньше 1. Рассмотрим правую часть неравенства: расстояние от начала отсчёта до этих же точек меньше или равно 3.
Построим эти точки на координатной прямой:

неравенства3

1 и – 1 не входят в множество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству, потому что неравенство строгое.
3 и – 3 входят в множество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству, потому что неравенство нестрогое.

Ответ: х = {–3; –2;  2;  3}

 

Масштаб

Масштаб – это отношение, которое показывает, во сколько раз уменьшено изображение на карте (плане, чертеже, глобусе) по сравнению с его действительными размерами на Земле. То есть масштаб показывает – сколько сантиметров на местности содержится в 1 см на карте.

Масштаб 1:100 000 показывает, что каждому сантиметру на карте соответствует 100 000 см на местности или 1 км (1 км = 100 000 см).
Чем в меньшее количество раз местность уменьшена во время изображения её на бумаге, тем большим есть масштаб изображения, и наоборот.
карты

Например, масштаб 1: 25000 будет крупнее, чем масштаб 1: 100 000, потому что в первом случае в 1 см – 250 м, а во втором – в 1 см – 1 км. Очевидно, что на более крупном масштабе местность будет изображена более детально.

Запомни!  1 км = 100 000м;    1м = 100 см

Решение задач

Задача 1

Масштаб карты 1:30 000, расстояние на карте между городами 45 см. Найдите действительное расстояние между городами на местности.

Решение.
Понятно, что расстояние на местности будет больше расстояния на карте в 30 000 раз. Тогда 45 см × 30 000 = 1 350 000 см = 13, 5км
То есть мы увеличиваем расстояние в 30 000 раз

Ответ: действительное расстояние между городами на местности 13, 5 км.

Задача 2

Расстояние между двумя городами на местности 360 км. Каким будет расстояние между городами на карте, если масштаб этой карты 1: 300 000?

Решение.
Понятно, что расстояние на карте будет меньше расстояния на местности в 3 000 000 раз.
360 км = 36 000 000 см.
Тогда 36 000 000 см : 3000 000 = 12 см.
То есть мы уменьшаем реальное расстояние в 3 000 000 раз

Ответ: расстояние между городами на карте 12 см.

Задача 3

Расстояние между двумя городами 750 км. Найдите масштаб карты, если на ней расстояние между этими городами 15 см.

Решение.

750 км = 75 000 000 см
Поскольку масштаб показывает во сколько раз уменьшено изображение на карте по сравнению с его действительными размерами на местности, тогда
75 000 000 см : 15 см = 5 000 000.

Ответ: масштаб карты 1:5 000 000.