Признаки делимости на натуральные числа

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра — чётное число.
Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными. Ноль — чётное число.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9.  Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5.

Признак делимости на 7. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 11.  На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Признак делимости на 13. Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 17. Делимость числа на 17 зависит от соотношения между цифрами числа без его последней цифры и этой последней цифрой. Натуральное число делится на 17, если разность — это число без его последней цифры минус его последняя цифра, умноженная на 5, — делится на 17.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10.  Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Распределительное свойство умножения

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b + c) = ab + ac

или так:

(b + c) a = ab + ac

В ответе буквы записываются в алфавитном порядке.

Распределительное свойство умножения выполняется для трёх и более слагаемых.
Например, a(b + c + d +f) = ab + ac + ad + af

  Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы число умножить на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b — c) = ab — ac

или так:

(b — c) a = ab — ac

Примеры:
4 (a + 2) = 4a + 4·2 = 4a +8
-6a(3b — 5c — d) = -18 ab + 30 ac + 6 ad
(3x + 4y +5z)2 = 2·3x + 2·4y + 2·5z = 6x + 8y +10z
3b (4b + c) = 3b·4b + 3b·c = 12b2 + 3b·c

 Задания

Раскрыть скобки
3 (a + 5)
8 (5 — x)
15 (c + d)
-20 (f — g)
(a + b) 4
-14a(a + b)
(x — y) 18
2a (3 + 2b)
20 (4a — 5)
(3c + 5d)·(-14)
(2x + 3y) 8x
(3m + 4n — 7p) ·(-6)
-5a (b + 3c — 6d + 2f)
(2a — 5b + 3 c) 12

Упростите выражение

12 a + 13 a
39 b — b
d + 27 d
36 d — 19 d + 23 d
46 a + 54 a — a — 2 a
23 m — 14 m +48
56 b + 14 b — 70 b
37 x — 17 x + 34 x — 54 x + 100
12 a + 6 b
24 x — 8 y
18 a + a +12 a
18 a + 6 b +12 c
14 c + 7 c + 9
69 p — 13 p + 37
14 a — 8 a + 45 a + a
15 a + 5 b + 20 c — 10 d

Решите уравнения

15x + 26 x — 14 = 68
48 x — 19 x = 145
(((12x + 3x) — 5x) — 2x) + 10 x = 54

Ответы

 

Противоположные числа. Модуль числа

Противоположные числа – это числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Выражение –а обозначает, что это число противоположное числу а.

Например, 7  и – 7;
                       41  и – 41  и т.д.

Число 0 противоположно самому себе!

То есть, для того, чтобы показать противоположность чисел в математике используют знак « – ».

Приписав знак « – » перед положительным числом 5, мы получим отрицательное число – 5.

Приписав знак « – » перед отрицательным числом – 5, мы получим противоположное ему положительное число 5, то есть – (–5) = 5.

– (–а) = а

На координатной прямой точки, у которых противоположные координаты, расположены на одинаковом расстоянии от начала отсчёта.

модуль

AO = OC
BO = OD

Модуль числа

Модуль числа – это расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчёта до точки, которая изображает это число на координатной прямой.

модуль2

Точки А(– 4) и В (4) отдалены от начала отсчёта на 4 единичных отрезков, а числа – 4 и 4 имеют одинаковые модули, равные 4.

Модуль числа а обозначают | а |

Так как модуль – это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным, то модуль числа не может быть отрицательным числом!!!

Модулем положительного числа и нуля является тоже самое число, а модулем отрицательного числа – противоположное ему число:
| а | = а, если а  ≥ 0  (если а – неотрицательное число)
| а | = – а, если а  <  0  (если а – отрицательное число)

Выводы

Свойства модуля числа:

  1. Модуль числа не может быть отрицательным. Модуль числа всегда или положительное число или равен 0.

| 4| = 4

| 0 | = 0

|– 4| = 4

  1. Противоположные числа имеют равные модули.

| – а | = | а | = а

Пример, | – 12 | = | 12 | = 12

Решение уравнений (примеры)
1.  – x = 7
вместо – x   и   7  напишем противоположные им числа, используя знак «–»
–(– x) = – 7
воспользуемся правилом, что – (–а) = а получим
x = – 7
2. – x = – 10
–(– x) = –(– 10)
x = 10
3. x = –(– 32)
x = 32
4. | x | = 4
x = 4 или x = – 4
Ответ: 4; – 4
5. | x | = 0
x = 0
Ответ: 0
6. | y | = – 8
модуль не может быть отрицательным числом, а значит данное уравнение не имеет решения
Ответ: нет корней
7. | – x | = 12
вспомним второе свойство модуля, что | – а | = | а | = а, тогда
| x | = 12
x = 12 или x = – 12
Ответ: 12; – 12
8. | y | – 2 = 12
подобные уравнения решаются как простые уравнения, только с учётом модуля
| y | = 12 + 2
| y | = 14
y = 14 или y = – 14
Ответ: 14; – 14
9.  10 – 2| x | = 4
2| x | = 10 – 4
2| x | = 6
| x | = 6 : 2
| x | = 3
x = 3 или x = – 3
Ответ: 3; – 3
То есть при решении уравнений, содержащих модуль мы получим три вида ответа:
два корня (если под знаком модуля положительное число), один корень (если под знаком модуля 0)
нет корней (если под знаком модуля отрицательное число).
Решение простейших неравенств, содержащих модуль

В 5 классе мы решали примеры с простейшими неравенствами. Линейные неравенства бывают строгие и нестрогие.
Строгие неравенства – это неравенства со знаками больше (>) или меньше (<).
x > a; x < a;
Нестрогие неравенства – это неравенства со знаками больше либо равно (≥) или меньше либо равно (≤).
x ≥ a; x ≤ a.

Примеры

1. Найдите все натуральные значения x, при которых является правильным неравенство x < 9

Решение.
Данное неравенство будет правильным при таких значениях x: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
Ответ: х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} – натуральные решения данного неравенства.

Примечание:
Число 0 не является решением этого неравества, так как 0 не является натуральным числом;
Число 9 не является решением этого неравества, так как данное неравенство строгое, то есть х строго меньше 9 и не может быть равным 9.

2. Какое наименьшее натуральное значение а удовлетворяет неравенство а > 12?

Решение.
Поскольку неравенство строгое, то число 13 является наименьшим натуральным значением а, которое удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 13

3. Какое наименьшее натуральное значение а удовлетворяет неравенство а ≥ 12?

Решение.
Поскольку неравенство нестрогое, то число 12 является наименьшим натуральным значением а, которое удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 12.

4. Найдите все натуральные значения x, при которых является правильным неравенство 2 < x < 9

Решение.
Неравенство двойное (читают как «х больше от 2, но меньше от 9»), строгое, поэтому 3; 4; 5; 6; 7; 8 – натуральные решения данного двойного неравенства.
Ответ: х = {3; 4; 5; 6; 7; 8}

5. Найдите все натуральные значения x, при которых является правильным неравенство 2 < x ≤ 9.

Решение.
3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 – натуральные решения данного двойного неравенства.
Ответ: х = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

6. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству| x | < 5.

Решение.
| x | < 5 (читаем как «расстояние от начала отсчёта до точки изображающей х меньше 5»).
Неравенство | x | < 5 эквивалентно (может быть также записано) –5 < x < 5. Неравенство двойное, строгое, поэтому данное неравенство будет правильным при таких значениях x: –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4.
Ответ: х = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}

7. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству| x | ≤ 5.

Решение.
Неравенство | x | ≤  5 эквивалентно –5 ≤  x ≤  5. Неравенство двойное, нестрогое, поэтому числа –5 и 5 войдут в множество чисел, при которых данное неравенство будет правильным. Таким образом, данное неравенство будет правильным при таких значениях x: –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Ответ: х = {–5; –4; –3; –2; –1;  0;  1;  2;  3;  4;  5}

8. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству | x | > 2 и обозначте их на координатной прямой.

Решение.
Неравенство | x | > 2 эквивалентно x < – 2 или x > 2. Обозначим на координатной прямой точки, координаты которых удовлетворяют данному неравенству

неравенства

Поскольку неравенство строгое, то числа – 2 и 2 не входят в множество целых чисел, при которых данное неравенство будет правильным. А на координатной прямой эти точки обозначаем в виде незакрашенной точки.

Ответ: х = {…–5; –4; –3;  3;  4;  5…}

9. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству | x | ≥ 2 и обозначте их на координатной прямой.

Решение.
Неравенство | x | ≥ 2 эквивалентно x ≤ – 2 или x ≥ 2. Обозначим на координатной прямой точки, координаты которых удовлетворяют данному неравенству

неравенства2

Поскольку неравенство нестрогое, то числа – 2 и 2 входят в множество целых чисел, при которых данное неравенство будет правильным. А на координатной прямой эти точки обозначаем в виде закрашенной точки.

Ответ: х = {…–5; –4; –3; –2;  2;  3;  4;  5…}

10. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству 1 < | x | ≤ 3 и обозначте их на координатной прямой.

Решение.
Рассмотрим сначала левую часть неравенства. Она означает, что расстояние от начала отсчёта до точек меньше 1. Рассмотрим правую часть неравенства: расстояние от начала отсчёта до этих же точек меньше или равно 3.
Построим эти точки на координатной прямой:

неравенства3

1 и – 1 не входят в множество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству, потому что неравенство строгое.
3 и – 3 входят в множество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству, потому что неравенство нестрогое.

Ответ: х = {–3; –2;  2;  3}

 

Масштаб

Масштаб – это отношение, которое показывает, во сколько раз уменьшено изображение на карте (плане, чертеже, глобусе) по сравнению с его действительными размерами на Земле. То есть масштаб показывает – сколько сантиметров на местности содержится в 1 см на карте.

Масштаб 1:100 000 показывает, что каждому сантиметру на карте соответствует 100 000 см на местности или 1 км (1 км = 100 000 см).
Чем в меньшее количество раз местность уменьшена во время изображения её на бумаге, тем большим есть масштаб изображения, и наоборот.
карты

Например, масштаб 1: 25000 будет крупнее, чем масштаб 1: 100 000, потому что в первом случае в 1 см – 250 м, а во втором – в 1 см – 1 км. Очевидно, что на более крупном масштабе местность будет изображена более детально.

Запомни!  1 км = 100 000м;    1м = 100 см

Решение задач

Задача 1

Масштаб карты 1:30 000, расстояние на карте между городами 45 см. Найдите действительное расстояние между городами на местности.

Решение.
Понятно, что расстояние на местности будет больше расстояния на карте в 30 000 раз. Тогда 45 см × 30 000 = 1 350 000 см = 13, 5км
То есть мы увеличиваем расстояние в 30 000 раз

Ответ: действительное расстояние между городами на местности 13, 5 км.

Задача 2

Расстояние между двумя городами на местности 360 км. Каким будет расстояние между городами на карте, если масштаб этой карты 1: 300 000?

Решение.
Понятно, что расстояние на карте будет меньше расстояния на местности в 3 000 000 раз.
360 км = 36 000 000 см.
Тогда 36 000 000 см : 3000 000 = 12 см.
То есть мы уменьшаем реальное расстояние в 3 000 000 раз

Ответ: расстояние между городами на карте 12 см.

Задача 3

Расстояние между двумя городами 750 км. Найдите масштаб карты, если на ней расстояние между этими городами 15 см.

Решение.

750 км = 75 000 000 см
Поскольку масштаб показывает во сколько раз уменьшено изображение на карте по сравнению с его действительными размерами на местности, тогда
75 000 000 см : 15 см = 5 000 000.

Ответ: масштаб карты 1:5 000 000.

Складені рівняння

Якщо ви вже навчилися розв’язувати прості рівняння, тоді можна перейти до розв’зання складених рівнянь.

Розв’язання складених рівнянь

Під складеними рівняннями ми розуміємо такі рівняння, які містять в собі дві чи більше арифметичних дій. Розглянемо послідовність розв’язання складених рівнянь.

Наприклад,  5 × с – 4 = 11

Спочатку розставляємо порядок дій

Порядок дій

Визначаємо яку дію у рівнянні виконуватимемо останньою та називаємо компоненти. Остання дія, яку будемо виконувати у рівнянні – віднімання:
5 × с – 4 = 11

Приклад

Невідомий компонент 5 × с . Тоді знайдемо невідоме зменьшувальне:

5 × с = 11 + 4

Ми отримали нове рівняння, спрощуємо його

5 × с = 15

Ми отримали просте рівняння, яке розв’язуємо за правилом знаходження невідомого множника:

5 × с = 15

с = 15 : 5

с = 3

Зробимо перевірку числової рівності:

5 × 3 – 4 = 11

11 = 11

Алгоритм розв’язання складених рівнянь
  1. Визначаємо останню дію та називаємо компоненти.
  2. Визначаємо невідомий компонент та згадуємо правило його знаходження.
  3. Записуємо нове рівняння та спрощуємо його.
  4. Розв’язуємо просте рівняння.
  5. Робимо перевірку числової рівності.

Приклади

Приклад №1

7 × (x – 5) = 63

1) Остання дія – множення. 7 – множник, (x – 5) – множник, 63 – добуток.

2) Невідомий компонент – (x – 5). Оскільки це множник, тоді згадуємо правило знаходження невідомого множника.

3) Записуємо нове рівняння та спрощуємо його

(x – 5) = 63 : 7

(x – 5) = 9

4) Розв’язуємо просте рівняння x – 5 = 9

x – 5 = 9

x = 9 + 5

x = 14

5) 7 × (14 – 5) = 63

7 × 9 = 63

63 = 63

Приклад №2

(37 + x) – 58 = 49

1) (37 + x) – зменьшувальне, 58 — від’ємник, 49 – різниця

2) (37 + x) – невідомий компонент

3) (37 + x) = 49 + 58

(37 + x) = 107

4) 37 + x = 107

x = 107 – 37

x = 70

5) (37 + 70) – 58 = 49

107 – 58 = 49

49 = 49

Приклад №3

5 × (x : 12) = 20

1) 5 – множник, (x : 12) – множник, 20 – добуток.

2) (x : 12) – невідомий компонент

3) (x : 12) = 20 : 5

(x : 12) = 4

4) x : 12 = 4

x = 12 × 4

x = 48

5) 5 × (48 : 12) = 20

5 × 4 = 20

20 = 20

Прості рівняння

Рівняння – це рівність, яка містить невідоме число (букву), значення якого треба знайти, щоб рівність була правильною.

Корінь рівняння – це число, яке при підстановці його замість букви перетворює рівняння на правильну числову рівність. Розв’язати рівняння – це означає знайти всі його корені або переконатися, що їх взагалі немає.

Додавання

Операции сложения

Як знайти невідомий доданок? Треба від суми відняти відомий доданок.

x + 3 = 5

x = 5 – 3

x = 2

4 + x = 6

x = 6 – 4

x = 2

Віднімання

Операции вічитания

Як знайти невідоме зменьшувальне? Треба до різниці додати від’ємник.

y – 15 = 10

y = 10 + 15

y = 25

 Як знайти невідомий відємник? Треба від зменьшувального відняти різницю.

10 – b = 6

b = 10 – 6

b = 4

Множення

Операции умножения

Як знайти невідомий множник? Треба добуток поділити на відомий множник.

c × 3 = 15

с = 15 : 3

с = 5

4 × с = 16

с = 16 : 4

с = 4

Ділення

Операции деления

Як знайти невідоме ділене? Треба дільник помножити на частку.

x : 3 = 4

x = 3 × 4

x = 12

Як знайти невідомий дільник? Треба ділене поділити на частку.

36 : d = 4

d = 36 : 4

d = 9

 

Сложение и вычитание десятичных дробей

При сложении и вычитании десятичных дробей важно запомнить, что целую часть мы складываем (вычитаем из) с целой частью, а дробную — с дробной.
При сложении и вычитании в «столбик» надо целую часть писать под целой, запятую — под запятой.

Примеры сложения
Пример 1: 25,6 + 3,32 = 28,92

сложение
Чтобы заполнить «пустое место» над 2, для удобства можно написать 0.
Пример 2:  4, 56 + 0,3 = 4,86

сложение2

Примеры вычитания
Пример 1:  25,6 — 3,32 = 22,28

вычитание
Многие ученики забывают, что после разряда десятых, в котором стоит 6, находится разряд сотых, в котором стоит 0, но его не пишут. При вычитании следует писать, чтобы избежать ошибок.

Пример 2:  4, 56 — 0,37 = 4,19

вычитание2

 

Задачи на сближение и удаление

Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач:  S = υ·t,   υ = S : t,   t = S : υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.

Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.

Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления – это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.

Движение на сближение можно разделить на два вида: встречное движение и движение вдогонкуДвижение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием.

Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.

Рассмотрим таблицу.

движение

Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются. При движении в одну сторонувычитаются.

Примеры решения задач.

Задача №1.  Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 80 км/ч
Найти υсб
Решение.
υсб = υ1 + υ2 – скорость сближения (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υсб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ:  скорость сближения 140 км/ч.

Задача №2. Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 80 км/ч
Найти υуд
Решение.
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υуд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ: скорость удаления 140 км/ч.

Задача №3. Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υав = 60 км/ч
υмот = 80 км/ч
Найти υсб
Решение.
υсб =  υ1 – υ2 – скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении)
υсб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ: скорость сближения 20 км/ч.

То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения.

Рассмотрим другие задачи.

Задача № 4. Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ1 = 5 км/ч
υ2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях)
υуд = 5 + 4 = 9 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υуд·t
S =  9·3 = 27 (км)
Ответ: через 3 ч расстояние будет 27 км.

Задача № 5. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ1 = 10 км/ч
υ2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υсб = υ1 + υ2 – скорость сближения (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях)
υсб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S : υсб
t = 36 : 18 = 2 (ч)
Ответ:  встретятся через 2 ч.

Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ1 = 60 км/ч
υ2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение.
1 способ
υуд = υ1 + υ2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях)
υуд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υуд·t    ⇒   t = S : υуд
t =  260 : 130 = 2 (ч)
Ответ: через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:

задача 1

Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S1 + S2;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит, 
S11· t  расстояние которое проехал 1 поезд
S22· t — расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S = S1 + S
= υ1· t  + υ2· t  =  t · (υ+ υ2) = t · υуд  
t = S : (υ+ υ2)  — время за которое оба поезда проедут 260 км
t =  260 : (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ:  расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч . 

1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача.  Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных дробей цифры распологаются друг под другом несмотря на запятую. Например, 2,12 × 1,3

умножение
Дальнейшее умножение «в столбик» производится так же как и с натуральными числами (на запятую не обращаем внимание):

умножение1
Теперь осталось разобраться куда поставить запятую! Надо подсчитать сколько чисел стоит в множителях после запятой, а потом полученное количество отсчитать справа налево в произведении и поставить запятую.

умножение2
2,12 × 1,3 = 2,756

Деление десятичных дробей

Напомню, что в выражении ab = c     a — делимоеb — делительc — частное

Деление числа на число выполняется при помощи таблицы, из-за особого вида которой данная процедура получила название деление «уголком».

Начнём с деления натурального числа на натуральное: 256 : 4, где 256 — делимое, а 4 — делитель. Таблица будет выглядеть так

уголок 1

Рассмотрим подробнее.
При делении первых двух разрядов (25) на  четвёрку (4) получается  6  плюс еще какой-то остаток. Запишем 6 под чертой снизу от делителя.

уголок 2

Умножаем на эту шестёрку  наш делитель (4) и записываем ответ 24 под первыми двумя разрядами делимого (25).

уголок 3

Выполняем вычитание «столбиком» и получаем единицу (1), к которой мы приписываем  шестерку  из следующего разряда делимого. В результате такого приписывания у нас получается число  16 .

уголок 4

Мы делим его на наш делитель ( 4 ) и получаем  4 . Эту  четвёрку  пишем в строке ответа, под чертой снизу от делителя.

уголок 5

Умножаем делитель (4) на последнюю цифру ответа (4), приписываем результат 16  снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого.

уголок 6

Вычитаем последнюю строку из предпоследней и получаем 0.

уголок 1

То есть 256 : 4 = 64

При делении десятичной дроби на натуральное число процесс тот же. Но только надо учитывать то, что теперь в делимом кроме целой части появляется дробная.

Разделим 25,6 : 4, где 2,56 — делимое, а 4 — делитель.
При делении целой части (25) на  четвёрку (4) получается  6  плюс еще какой-то остаток. Запишем 6 под чертой снизу от делителя. Умножаем на эту шестёрку наш делитель (4) и записываем ответ 24 под целой частью делимого (25). Выполняем вычитание «столбиком» и получаем единицу (1).

уголок 7

Всё как и в первом примере, разница только в том, что под чертой после 6 ставим запятую, потому что деление целой части закончилось.

уголок 8

Дальше процесс деления повторяется точно как и в первом примере! В результате получим такую таблицу:

уголок 9

То есть 25, 6 : 4 = 6,4

Следующий пример это случай, когда целая часть делимого меньше делителя: 2,56 : 4, где 2,56 — делимое, 4 — делитель.

 уголок 10

Видно, что двойки (2) мало для продолжения деления, нам нужна ещё одна цифра. Для этого сносим 5, но для этого придётся «заплатить нулём». Запишем 0 под чертой снизу от делителя и поставим запятую, так как деление целой части закончено.

уголок 11

Дальше продолжаем деление по знакомой схеме и получим такую таблицу

уголок 12

То есть 2,56 : 4 = 0,64

Усложним задачу. Пусть теперь целая часть десятичной дроби будет равна нулю.
0, 24 : 3, где 0,24 — делимое, 3 — делитель.

уголок 13

Начав деление мы увидели, что ноль меньше чем 3 и нам надо снести ещё одну цифру — 2. Но мы можем это сделать только «заплатив нулём».  Запишем 0 под чертой снизу от делителя и снесём двойку. И поскольку деление целой части закончилось (мы начали использовать цифры после запятой), то после нуля под чертой мы ставим запятую.

уголок 14

Но и двойки недостаточно для деления на 3. Нам надо снести ещё одну цифру, «заплатив нулём». Мы сносим  четвёрку (4), под чертой снизу от делителя пишем ещё один 0.

уголок 15

Теперь при делении 24 на  тройку (3) получается  8. Запишем 8 под чертой рядом с нулём. Умножаем делитель (3) на последнюю цифру ответа (8), приписываем результат 24  снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого. После вычитания в столбик получим 0.

уголок 16

Таким образом, 0, 24 : 3 = 0,08

Для закрепления рассмотрим ещё один пример: 2,016 : 4 = 0,504

уголок 17

Поскольку целая часть делимого меньше делителя, то в целой части частного будет 0.  Так как 2 меньше 4, то сносим ещё одну цифру (0) и «платим нулём» в частном. 20 разделить на 4 будет 5, поэтому в частное пишим 5. После умножения 5 на 4 получим 20, и после вычитания в столбик получим 0. Сносим 1 — мало, сносим ещё одну цифру — 6, но «платим нулём» в частном. Очевидно, что 16 разделить на 4 будет 4. Поэтому в частное пишим 4. После умножения 4 на делитель (4) получим 20, и после вычитания в столбик получим 0.